logo


poster
معرفی مدرسه تابستانی ریاضیات

اهداف:
گرد هم آمدن تعدادی از دانشجویان علاقه‌مند کارشناسی رشته ریاضی از دانشگاه‌های مختلف کشور در یک رویداد علمی غیر رقابتی برای این که:
  • با موضوعاتی از ریاضیات روز یا با مفاهیم و موضوعات عمیق‌تر ریاضی آشنا شوند.
  • با همدیگر و با کمک اساتید، به حل مساله‌های ریاضی بپردازند و از فکر کردن همدیگر بیاموزند.
  • با همدیگر و با تعدادی از اساتید ریاضی آشنا شوند و ارتباط علمی پیدا کنند.
برنامه علمی:
هر دوره از یک یا دو درس اصلی و در صورت امکان تعدادی کارگاه‌ یا سخنرانی‌ جانبی تشکیل شده است. هر درس‌ در قالب تعدادی جلسه درس و از آن مهم‌تر تعدادی جلسه حل مساله برگزار می‌شود. در جلسات حل مساله دانشجویان با کمک هم و با همراهی اساتید، تمرین‌ها و مساله‌هایی مرتبط با درس که از پیش طراحی یا آماده شده را حل می‌کنند.

برنامه‌های پیشین:
اولین مدرسه - دومین مدرسه - سومین مدرسه - چهارمین مدرسه




برنامه مدرسه تابستانی سال ۱۳۹۹

نظریه توپولوژیک گراف‌ها

امیر جعفری (دانشگاه صنعتی شریف)

نظریۀ توپولوژیک گراف‌ها، شاخه‌ای نسبتاً جدید از نظریۀ گراف‌هاست که از ابزارهای توپولوژیک از قبیل قضیه بورساک اولام برای بررسی خواص ترکیبیاتی هم‌چون عدد رنگی گراف‌ها و ابرگراف‌ها استفاده می‌کند. این نظریه توسط لووس با اثبات حدسی از کنسر در ۱۹۷۸ بوجود آمد. هدف از این درس ارائه مقدمه‌ای از این نظریه است.

پیش نیاز:
توپولوژی عمومی و نظریه گراف مقدماتی.

جلسه ۱: فضاهای سادکی، هندسی سازی، همبندی، هموتوپی
جلسه ۲: قضیۀ بورساک اولام، لم تاکر، لم اسپرنر، کاربردهای ترکیبیاتی
جلسه ۳: عمل گروه روی فضاها، قضیه دلد و اندیس، تعمیم‌های لم تاکر
جلسه ۴: قضایای توربرگ



 نظریه‌ی هندسی گروه‌ها

کیوان ملاحی کارای (دانشگاه جیکوبز)

مفهوم گروه در نیمه‌ی دوم قرن نوزدهم با هدف تجرید مفهوم شهودی تقارن معرفی شد. پیش از آن، ریاضیدانان بسیاری از جمله کیلی، گالوا، ژردن، لی و سیلو گروه‌های تقارن اشیاء ریاضی خاص را بررسی کرده بودند. این تغییر نگرش به سمت تجرید، علاوه بر روشن کردن ارتباط بین این دیدگاه‌های ظاهراً متفاوت،  گروه‌ها را به عنوان اشیا‌ی ریاضی مستقل و قابل شناخت مورد توجه ریاضیدانان قرار داد. در اوایل قرن بیستم و با توسعه‌ی مفاهیم هندسی مانند فضای متریک، معلوم شد که می‌توان گروه‌های بسیاری را با دیدی برگرفته از هندسه بررسی کرد. اثبات میخاییل گروموف برای رده بندی گروه‌های با رشد چندجمله‌ای حاصل‌خیزی این دیدگاه را با قطعیت نشان داد و جایگاه نظریه‌‌ی هندسی گروه ها را تثبیت کرد.
هدف این درس کوتاه، آشنایی با بعضی مفاهیم این نظریه، با تاکید ویژه بر مفهوم رشد گروه است. اگر \(G\) گروهی نامتناهی باشد که توسط مجموعه‌ی متناهی \(S\) تولید شده است، تابع رشد \(G\) نسبت به مجموعه‌ی \(S\) اعضایی از \(G\) را می‌شمارد که می‌توانند به صورت کلمه‌ای به طول حداکثر \(R\) از اعضای \(S\) نوشته شوند. قضیه‌ی مشهور گروموف که طرحی کلی از اثبات آن را در پایان این درس کوتاه خواهیم دید، توصیفی کاملاً جبری از گروه‌های با رشد چند جمله‌ای به دست می‌دهد.

پیش نیاز:
آشنایی با مفاهیم ابتدایی نظریه‌ی گروه‌ها (زیر گروه، زیرگروه نرمال، همریختی (همومورفیسم)، یکریختی (ایزومورفیسم)).

جلسه ۱: یادآوری مفهوم گروه، گروه‌های جایگشت، گروه‌های متناهی، گروه‌های ساده، گروه‌های متناهی، گروه‌های ساده، گروه خطی عمومی \( \mathrm{GL}_d(\mathbb{F}_p) \)، ساختن \(p\)-گروه‌های متناهی، گراف کیلی، طول اعضای گروه نسبت به یک مجموعه‌ی مولد
جلسه ۲: گروه‌های نامتتاهی: گروه‌های آبلی، گروه هایزنبرگ، گروه بنیادی یک خمینه، نگاشت‌های شبه طول‌پا: مثال‌های متعدد، تابع رشد یک گروه نامتناهی و ناوردایی آن تحت نگاشت‌های شبه طول‌پا
جلسه ۳: لم شوارتز-میلنور و کاربردهای آن، عمل گروه ها و ناحیه‌ی بنیادی برای عمل طول‌پای یک گروه، رشد گروه‌های آبلی و پوچ‌توان
جلسه ۴: گروه‌های آزاد: تعریف و خواص اولیه، استدلال پینگ‌پنگ و مثال‌هایی از زیرگروه‌های آزاد گروه‌های خطی
جلسه ۵: قضیه‌ی میلنور و ولف: رده‌بندی گروه‌های حل‌پذیر با رشد چندجمله‌ای
جلسه ۶: کاربردهای قضیه‌ی رده بندی در رشد حجم گوی‌ها در خمینه‌های هذلولوی، قضیه‌ی تیتز درباره‌ی وجود زیرگروه آزاد در گروه‌های خطی. طرح اثبات برای زیرگروه‌های \( {\mathrm{GL} }_2({\mathbb{C} }) \)
جلسه ۷: قضیه گروموف: رده بندی گروه‌های با رشد چندجمله ای، همگرایی گروموف-هاسدورف و مخروط مجانبی، طرح اثبات  قضیه گروموف
جلسه ۸: گروه اتومورفیسم های درخت، ساختن گروه‌های با رشد بینابینی



ثبت‌نام:
۱- برای ثبت‌نام در مدرسه تابستانی ریاضیات، فرم ثبت‌نام را حداکثر تا ۱۳۹۹/۰۵/۲۶ تکمیل کنید. (الویت با دانشجویان کارشناسی است.)
۲- ارسال یک توصیه‌نامه توسط یکی از اساتیدتان با عنوان نام خانوادگی شما، تا ۱۳۹۹/۰۵/۲۶، به نشانی iranmathschool@gmail.com به پذیرش شما کمک خواهد کرد.

هزینه ثبت نام: ۰۰۰ ۵۰۰ ریال (واریز پس از اعلام موافقت کمیته برگزاری)
مدرسه تابستانی ریاضیات به صورت برخط برگزار خواهد شد.

تماس با ما: iranmathschool@gmail.com


کمیته برگزاری

حسام‌الدین رجب‌زاده (پژوهشگاه دانش‌های بنیادی)
رشید زارع نهندی (دانشگاه تحصیلات تکمیلی علوم پایه زنجان)
علی کمالی‌نژاد (دانشگاه تهران)
کسری علیشاهی (دانشگاه صنعتی شریف)
میثم نصیری (پژوهشگاه دانش‌های بنیادی)